高等數(shù)學(xué)（二）
本大綱適用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)以及職業(yè)教育類、生物科學(xué)類、地理科學(xué)類、環(huán)境科學(xué)類、心理學(xué)類、藥學(xué)類等六個(gè)一級(jí)學(xué)科的考生。
總要求
考生應(yīng)按本大綱的要求了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)微積分初步的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。
復(fù)習(xí)考試內(nèi)容
一、函數(shù)、極限和連續(xù)
（一）函數(shù)
1．知識(shí)范圍
（1）函數(shù)的概念
函數(shù)的定義 函數(shù)的表示法 分段函數(shù) 隱函數(shù)
（2）函數(shù)的性質(zhì)
單調(diào)性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函數(shù)
反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖像
（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算
（5）基本初等函數(shù)
冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)
（6）初等函數(shù)
2．要求
（1）理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。
（2）理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶件、有界性和周期性。
（3）了解函數(shù) 與其反函數(shù) 之間的關(guān)系（定義域、值域、圖像），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。
（4）熟練掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。
（5）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。
（6）了解初等函數(shù)的概念。
（7）會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。
（二）極限
1．知識(shí)范圍
（1）數(shù)列極限的概念
數(shù)列 數(shù)列極限的定義
（2）數(shù)列極限的性質(zhì)
唯一性 有界性 四則運(yùn)算法則 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理
（3）函數(shù)極限的概念
函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 趨于無(wú)窮 時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義
（4）函數(shù)極限的性質(zhì)
唯一性 四則運(yùn)算法則 夾逼定理
（5）無(wú)窮小量與無(wú)窮大量
無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量的性質(zhì) 無(wú)窮小量的階
（6）兩個(gè)重要極限


2．要求
（1）了解極限的概念（對(duì)極限定義中“ ”、“ ”、“ ”的描述不作要求）。掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，以及函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。
（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。
（3）理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。
（4）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
（三）連續(xù)
1．知識(shí)范圍
（1）函數(shù)連續(xù)的概念
函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類
（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)
四則運(yùn)算連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)連續(xù)性
（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
有界性定理 最大值與最小值定理 介值定理（包括零點(diǎn)定理）
（4）初等函數(shù)的連續(xù)性
2．要求
（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處的連續(xù)性的方法。
（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。
（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。
（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。
二、一元函數(shù)微分學(xué)
（一）導(dǎo)數(shù)與微分
1．知識(shí)范圍
（1）導(dǎo)數(shù)概念
導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件
導(dǎo)數(shù)的幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
（2）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式
（3）求導(dǎo)方法
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
（4）高階導(dǎo)數(shù)
高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
（5）微分
微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性
2．要求
（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。
（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。
（4）掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（5）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
（6）理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。
（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1．知識(shí)范圍
（1）中值定理
羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理
（2）洛必達(dá)（L’Hospital）法則
（3）函數(shù)增減性的判定法
（4）函數(shù)的極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值
（5）曲線的凹凸性、拐點(diǎn)
（6）曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2．要求
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理（知道它們的條件、結(jié)論及其幾何意義）。
（2）熟練掌握用洛必達(dá)法則求“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”型未定式的極限的方法。
（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。
（4）理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。
（5）會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。
（6）會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
（7）會(huì)作函數(shù)的圖形。
三、一元函數(shù)積分學(xué)
（一）不定積分
1．知識(shí)范圍
（1）不定積分
原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì)
（2）基本積分公式
（3）換元積分法
第一換元法（湊微分法） 第二換元法
（4）分部積分法
（5）一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分
2．要求
（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（5）掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。
（二）定積分
1．知識(shí)范圍
（1）定積分的概念
定積分的定義及其幾何意義 可積條件
（2）定積分的性質(zhì)
（3）定積分的計(jì)算
變上限的定積分 牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 換元積分法
分部積分法
（4）無(wú)窮區(qū)間的廣義積分
收斂 發(fā)散 計(jì)算方法
（5）定積分的應(yīng)用
平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體的體積
2．要求
（1）理解定積分的概念及其幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。
（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。
（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成旋轉(zhuǎn)體的體積。

四、多元函數(shù)微積分初步
1．知識(shí)范圍
（1）多元函數(shù)
多元函數(shù)的定義 二元函數(shù)的定義域 二元函數(shù)的幾何意義
（2）二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（3）偏導(dǎo)數(shù)與全微分
一階偏導(dǎo)數(shù) 二階偏導(dǎo)數(shù) 全微分
（4）復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
（5）二元函數(shù)的無(wú)條件極限
（6）二重積分
二重積分的概念 二重積分的性質(zhì) 直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算
2．要求
（1）了解多元函數(shù)的概念、會(huì)求二元函數(shù)的定義域，了解二元函數(shù)的幾何意義。
（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（3）理解二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)全微分的求法。
（4）掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
（5）會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值。
（6）理解二重積分的概念，掌握二重積分的性質(zhì)，熟練掌握直角坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算方式。

考試形式及試卷結(jié)構(gòu)
試卷總分：150分
考試時(shí)間：150分鐘
考試方式：閉卷，筆試
試卷內(nèi)容比例：
函數(shù)、極限和連續(xù) 約20%
一元函數(shù)微分學(xué) 約30%
一元函數(shù)積分學(xué) 約30%
多元函數(shù)微積分初步 約20%
試卷題型比例：
選擇題 約15%
填空題 約25%
解答題 約60%
試題難易比例：
容易題 約30%
中等難度題 約50%
較難題 約20%


樣 卷
全國(guó)各類成人高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試
�？破瘘c(diǎn)升本科高等數(shù)學(xué)（二）試卷
考生注意：根據(jù)國(guó)標(biāo)要求，試卷中正切函數(shù)、余切函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)分別用 表示。
一、 選擇題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)
中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。
1．設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，則 等于（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．下列函數(shù)中在 處可導(dǎo)的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函數(shù) 在 內(nèi)是（ ）
A．單調(diào)增加 B．單調(diào)減少
C．不單調(diào) D．不連續(xù)
4．設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)滿足 且 ，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是（ ）
A．單調(diào)減少且凹的 B．單調(diào)減少且凸的
C．單調(diào)增加且凹的 D．單調(diào)增加且凸的
5．設(shè)函數(shù) ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上。
6． = ．

7．設(shè)函數(shù) ，則 ．
8．設(shè)函數(shù) ，則 ．
9．曲線 的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
10．設(shè)函數(shù) 的 ，則 ．
11．若 ，則 ．
12．設(shè) ，則 ．
13．不定積分 ，則 ．
14．若 ，則 ．
15．若積分區(qū)域D是由 圍成的矩形區(qū)域，則
．
三、解答題：本大題共13個(gè)小題，共90分，解答應(yīng)寫出推理、演算步驟。
16．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

17．（本題滿分6分）
求極限 ．

18．（本題滿分6分）
求極限 ．

19．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) ，其中 可導(dǎo)，求 ．

20．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) ，求 ．

21．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) 由方程 確定，試求 ．

22．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

23．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

24．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．

25．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) ，求 ．

26．（本題滿分10分）
求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間、極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)，水平與鉛
直漸近線．

27．（本題滿分10分）
設(shè)
（1）交換二次積分次序，
（2）計(jì)算I的值．

28．（本題滿分10分）
已知 ，
證明： ．

參考答案
一、選擇題
1．D 2．B 3．A 4．D 5．B
二、填空題
6． 7． 8． D．
10．2 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答題
16．解
．
17．解
．
18．解



19．解 ．
20．解 對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)得
，
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得

所以

21．解 等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得
，
所以 ．
22．解

23．解 設(shè) ，則 ，
所以


．
24．解


25．解 等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得
，
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得
，
所以

26．解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?
，
令 得 ，令 得 ．
列表得

+ 0 － －
－ － 0 +

所以函數(shù) 的單調(diào)增加區(qū)間為 ，
函數(shù) 的單調(diào)減少區(qū)間為
為函數(shù)的極大值，
函數(shù)曲線的凸區(qū)間為 ，
函數(shù)曲線的凹區(qū)間為 ，
函數(shù)曲線的拐點(diǎn)為 ，
因?yàn)?，
，
所以 為曲線 的水平漸近線，
為曲線 的鉛直漸近線．
27．解 畫出二重積分的積分區(qū)域D如圖所示：
（1）交換積分次序得

（2）




28．證 將已知等式化簡(jiǎn)得：
，
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得：
，
即 ，
令 得 ，
即 ．